Nhà toán học Cantor

Bố của Georg Cantor, là ông Georg Waldemar Cantor, một nhà buôn thành đạt làm việc tại một đại lý lớn tại St Petersburg, và sau đó làm người môi giới ở Chợ Chứng Khoán St Petersburg. Georg Waldemar Cantor sinh ra tại Đan Mạch, là một người có lòng say mê với văn hóa và nghệ thuật. Mẹ của Georg, bà Maria Anna Böhm sinh ra ở Nga,rất có năng khiếu về âm nhạc. Và dĩ nhiên, Georg có được gen năng khiếu âm nhạc và hội họa từ ba mẹ mình, nổi bật là một tay dương cầm điêu luyện. Georg trở thành một người theo đạo Tin Lành, đó là tôn giáo của cha ông, trong khi mẹ của ông lại là một người theo đạo Kito hữu.

Sau khi được dạy dỗ ở nhà nhờ một gia sư, Cantor theo học tiểu học ở thành phố St Petersburg và năm 1856, khi ông lên 11 tuổi, gia đình ông chuyển sang Đức. Cantor:
“…nghĩ lại lúc còn học ở Nga, với nỗi nhớ da diết và không hề vơi đi khi ông sống ở Đức, mặc dầu ông đã sống ở đây đến hết cuộc đời của mình, song dường như ông chưa bao giờ viết tiếng Nga, ngôn ngữ mà ông nên biết”

Bố của Cantor có sức khỏe không tốt, nên đã chuyển tới sống ở Đức, để tìm một vùng khí hậu ấm áp , thay thế cho cái lạnh giá của thành phố St Petersburg. Ban đầu, họ sống ở Wiesbaden, nơi mà Cantor theo học lớp Gymnasium, và sau đó chuyển đến Frankfurt. Cantor học tại Realschule ở Darmstadt nơi mà ông sống giống như một học sinh nội trú. Ông tốt nghiệp năm 1860 cùng với một bảng điểm xuất sắc. Sau đó, ông theo học tại Höhere Gewerbeschule ở Darmstadt ông vào trường Polytechnic của Zurich năm 1862. Lý do mà bố của ông muốn gửi ông đến học ở Höheren Gewerbeschule đó là vì ông muốn Cantor trở thành :

“… một ngôi sao sáng trên bầu trời khoa học kĩ thuật.”

Tuy nhiên, năm 1862 Cantor đã xin phép ý kiến của cha mình, để theo học ngành toán tại Đại học, và ông đã rất vui mừng khi được sự cho phép của ba mình. Quá trình học tập của ông tại Zurich bị gián đoạn do cha ông qua đời, tháng 6 năm 1863. Cantor chuyển đến trường đại học Berlin, nơi ông trở thành bạn của Herman Schwarz, một người học sau ông một khóa. Cantor nghe các bài giảng của Weierstrass, Kummer và Kronecker. Ông theo khóa học mùa hè của năm 1866 tại trường đại học Göttingen, và trở lại Berlin để hoàn thành luận án tốt nghiệp về lý thuyết số De aequationibus secundi gradus indeterminatis năm 1867.

Trong thời gian ở Berlin, Cantor có mối liên hệ lớn với viện toán, và trở thành người đứng đầu của viện này những năm 1864 – 65. Ông cũng là một thành viên của nhóm các nhà toán học trẻ, họ có các cuộc bàn luận định kì hàng tuần tại nhà. Sau khi nhận bằng tiến sĩ năm 1867, Cantor dậy học tại một trường nữ sinh ở Berlin. Sau đó, năm 1868, ông tham gia hội thảo Schellbach Seminar dành cho giáo viên dậy toán. Trong suốt thời gian này, ông đã làm việc bảo về luận án habilitation của ông.

Tại Halle, hướng nghiên cứu của Cantor chuyển từ lý thuyết số sang tích phân. Để thỏa mãn Heine, một trong những học viên của ông tại Halle, người thách thức Cantor chứng minh phần mở rộng lạ đời đại diện cho một hàm số, như chuỗi lượng giác. Đó là một vấn đề khó đã từng được nhiều nhà toán học quan tâm, nhưng chưa có lời giải thành công, bao gồm cả bản thân Heine, hay Dirichlet, Lipschitz và Riemann. Cantor đã tìm ra đáp áncho vấn đề hóc búa trên vào tháng 4 năm 1870. Ông công bố bài báo ở những năm 1870 và 1872, với nội dung chính là chuỗi lượng giác và chúng được chỉ ra một cách nhuần nhuyễn trong quá trình giảng dậy của Weierstrass.

Cantor nhờ đó trở thành giáo sư đặc biệt của Halle năm 1872, và trong năm này, ông bắt đầu có mối quan hệ với Dedekind, người ông đã từng gặp trong kì nghỉ ở Thụy Sĩ. Cantor công bố một bài báo về chuỗi lượng giác năm 1872, trong đó ông định nghĩa số vô tỉ trong giới hạn của những hàm số hội tự của số hữu tỉ. Dedekind cũng đưa ra định nghĩa về số thực bởi cũng vào năm 1872 sau khi đọc bài báo tham khảo của Cantor gửi cho ông.

Năm 1873 Cantor chững minh rằng số hữu tỷ có thể đếm được, ví dụ như chúng có thể được đặt dưới dạng 1-1 tương ứng với những số tự nhiên. Ông cũng chỉ ra rằng các số đại số ( algebraic numbers), ví dụ như số nghiệm của các phương trình bậc cao với hệ số nguyên, là điếm được. Hơn nữa, những cố gắng của ông để giải quyết việc ” phải chăng việc chứng minh các số thực là điếm được là khó hơn “.

Tháng 12 năm 1873, ông chứng minh được rằng các số thực là không có đếm được, và ông đã công bố kết quả này vào năm 1874. Ý tưởng chứng minh đã được bật ra từ những bài báo trước, và ông đã làm việc một cách ngấm ngầm, để làm sáng tổ điều này.

Một số siêu việt là một số vô tỷ cái không là một nghiêm của bất kì phương trình bậc cao với hệ số nguyên nào. Năm 1851, Liouville đã chứng minh 1851 sự tồn tại của số siêu việt, 20 năm sau, năm 1874, Cantor chỉ ra một điều chắc chắn rằng ” gần như tất cả” các số là số siêu việt bằng cách chứng minh rằng số thực là không đếm được trong khi ông đã chứng minh được rằng các số đại số là đếm được.

Cantor vội cả trao đổi với Dedekind. Câu hỏi tiếp theo ông tự hỏi chính mình, tháng 1 năm 1874, phải chăng bình phương đơn vị có thể phác họa trên một đường của chiều dài đơn vị với một sự tương xứng 1-1 của các điểm lẫn nhau. Trong một lá thư gửi cho Dedekind ngày mùng 5 tháng 1 năm 1874, ông đã viết:

Phải chăng một bề mặt (như một mặt vuông bao gồm cả biên) là duy nhất chuyển thành một đường ( như một đoạn thẳng bao gồm các điểm mút) ở đó với mỗi điểm trên mặt đều tương ứng với một điểm trên đương thẳng, và ngược lại, với mỗi
điểm thuộc đường thẳng, sẽ có một điểm tương ứng trên bề mặt ? Tôi nghĩ rằng việc trả lời cho câu hỏi này là một việc không đơn giản, mặc dầu thực tế câu trả lời dường như rất rõ ràng là “không” và việc chứng minh là không cần thiết.
Năm 1874 là một năm rất quan trọng trong cuộc đờ của Cantor. Ông hứa hôn với Vally Guttmann, một người bạn của chị gái ông, vào mùa xuân của năm đó. Họ lấy nhau vào ngày mùng 9 tháng 8 năm 1974, và dành tuần trăng mật ở Interlaken, Thụy Sĩ, nơi Cantor đã dùng phần lớn thời gian để trao đổi về toán học với Dedekind.

Cantor tiếp tục trả lời Dedekind, trao đổi ý tưởng cũng như m xét các ý kiến của Dedekind, và ông đã viết cho Dedekind trong năm 1877, bước chứng minh rằng có một sự tương ứng 1-1 của các điểm trong khoảng [0,1] và các điểm trong không gian p – chiều. Cantor đã rất ngạc nghiên trong bước khám phá của ông, và viết:
Tôi thấy điều đó, nhưng tôi không tin được nó.

Tất nhiên, điều là mối liên hệ giữa hình học và khái niệm chiều của một không gian. Một bài tiểu luận chính về chiều, cái Cantor gửi tới tạp chí Crelle năm 1877 đã được xem xét với thái độ nghi ngờ của Kronecker và chỉ được công bố sau khi có sự can thiệp của Dedekind. Cantor rất uẫn ực về sự đối lập của Kronecker với công việc của mình, và kể từ đó, ông không gửi một bài luận nào cho Tạp chí Crelle nữa.

Bài báo về chiều cái xuất hiện trong tạp chí Crelle năm 1878 làm cho những
khái niệm của tương xứng 1-1 được chính xác. Bài luận miêu tả tập hợp các số không đếm được, như các số tương ứng 1-1 với các số tự nhiên.Nghiên cứu về
các tập hợp của cùng số mũ. Cantor cũng miêu tả khai niệm của chiều và nhấn mạnh thực tế rằng câu trả lời của ông ở giữa khoảng [0,1] và bình phương đơn vị không phải là một giản đồ nối tiếp.

Giữa nhưng năm 1879 và 1884, Cantor công bố một tập hợp gồm 6 bài luận trong Mathematische Annalen để đưa ra một hướng dẫn cơ bản về lý thuyết tập hợp. Hơn nữa, có một số các vấn đề trong những năm ông cho là khó. Mặc dầu ông đã được lên chức Giáo sư chính thức năm 1879, Cantor đã từng hy vọng cho một ghế tại một trường đại học có uy tín hơn. Sự đối lập lâu dài giữa Cantor và Schwarz chấm dứt vào năm 1880, khi ý tưởng của Cantor ngày càng phát triển trong khi Schwarz không còn theo kịp hướng đi của ông. Sao đó vào tháng 10 năm 1881, Heine qua đời và cần một sự thay thế chiếc ghế của ông tại Halle.

Cantor rút ra danh sách gồm 3 người có thể thể chiếc ghế của Heine, và danh sách này được tán thành. Trong sanh sách đó, Dedekind đứng ở vị trí đầu, tiếp theo là Heinrich Weber và cuối là finally Mertens. Nhưng cả 3 người trong họ dần dần mở đi trong con đường toán học, và một danh sách mới lại được chọn ra, trong đó có Wangerin, là điểm nhắm chính, tuy nhiên ông này không có mấy thân thiện với Cantor. Quan hệ thư từ lâu dài giữa Cantor và Dedekind chấm dứt vào năm 1882.
Vào gần thời gian đó, Cantor bắt đầu có một mối quan hệ khác khá quan trọng với Mittag-Leffler. Ngay đó Cantor công bố trên tạp chí của Mittag-Leffler Acta Mathematica, và tất nhiên chuối 6 bài luận của ông ở vẫn tiếp tục xuất hiện trên tạp chí Mathematische Annalen . Trong bài luận thứ 5, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre được công bố dưới dạng 1 chuyện khảo riêng và đặc biệt quan trọng bởi một vài lý do. Trước hết Cantor nhận ra rằng lý thuyết tập hợp của ông không được như ông đã mong đợi và Grundlagen nhận được một số những lời bình. Thứ hai: Bước thành công chính của Grundlagen là sự giới thiệu về số transfinite, như sự độc lập và là hệ thống nối tiếp của số tự nhiên.

Cantor kết luận một cách rõ ràng trong bài luận rằng ông hiểu sức mạnh của sự đối lập với ý tưởng của ông.

“…Tôi hiểu rằng trong công việc này, tôi đặt bản thân mình ở trong một phía đối lập hoàn toàn với quan điểm rộng dãi về toán vô hạn của nhiều người và đưa ra chính kiến thường xuyên để bảo vệ trên vấn đề số tự nhiên”

Cuối tháng 5 năm 1884 Cantor đã tỏ dấu hiệu chán nản đầu tiên. Ông đã che đậy sau một vài tuần xong giờ đây dường như sự tự tin của ông đã giảm. Ông viết cho Mittag-Leffler cuối tháng sáu rằng:

“Tôi không biết khi nào tôi sẽ quay lại công việc nghiên cứu . Trong thời điểm này tôi chẳng làm được gì với nó, và giới hạn mình bằng các bài giảng cần thiết nhất: niềm vui tôi sẽ có là động lực để tôi tiếp tục nghiên cứu, và chỉ khi tôi có một tinh thần thỏa mái hơn. ”
C
ó lúc người ta nghĩ rằng, sự chán nán của ông là bởi sự lo lắng về mặt toán học, và cụ thể là kết quả khó khăn trong mối quan hệ của ông với Kronecker.
Nó cũng là lý do ảnh hưởng đến vấn đề thần kinh của ông không được tốt những năm 1884.Và Cantor cảm thấy lo lắng rằng ông có thể không chứng minh được giả thuyết continuum, tên gọi theo thứ tự của vô hạn của số thực , cái tiếp theo số tự nhiên. Trong thực tế, ông nghĩ rằng chứng minh của mình là sai, ngày sau đó ông tìm ra lỗi sai của mình.

Mặt khác cũng không được thuận lợi cho Cantor, năm 1885 Mittag-Leffler thuyết phục Cantor hủy bỏ một trong những bài báo từ Acta Mathematica khi nó đã đạt đến được kết quả chứng minh bởi vì ông nghĩ rằng nó”…sớm hơn 100 năm”. Cantor nói đùa về điều đó, nhưng cũng cảm thấy đau trong lòng:
Có phải Mittag-Leffler đã có ý của ông ấy, tôi sẽ phải đợi đến năm 1984, điều này đối với tôi dường như là một đòi hòi quá lớn….nhưng tất nhiên tôi chưa bao giờ muốn biết mọi thứ về Acta Mathematica.

Mittag-Leffler có ý định tốt nhưng nó chỉ ra sự thiếu tôn trọng đối với công việc quan trọng của Cantor. Quá trình trao đổi thư từ giữa Mittag-Leffler và Cantor dừng trong một thời gian ngắn sau sự kiện này và làm xóa đi những ý tưởng mới, cái dẫn đến việc Cantor mở rộng lý thuyết tập hợp trên 12 năm dường như gần chấm dứt.
Năm 1886, Cantor mua một căn nhà đẹp ở Händelstrasse, một con đường mang tên nhà soạn nhạc người Đức, Handek. Trước khi kết thúc của năm mà một người con trai ông ra đời, gia đình ông “hoàn thành kế hoạch” với 6 đứa trẻ. ong quay trở lại để mở rộng lý thuyết tập hợp với 2 hướng đi mới, hướng đầu tiên miêu tả bằng khia cạnh triết học của lý thuyết của ông với nhiều nhà triết học, được ông chỉ giới thiệu tên trong những bức thư năm 1888, và hướng thứ hai được mở ra sau cái chết của Clebsch, với việc tìm ra Deutsche Mathematiker-Vereinigung, cái ông hoàn thành vào năm 1890. Cantor được ngồi lên ghế đầu trong hội nghị Association ở Halle tháng 9 năm 1891, và măc dầu cay cú hơn với người đồi lập ông, Kronecker, Cantor vẫn mời Kronecker đến tham dự hội nghị này.
Kronecker không bao giờ đến hội nghị, mặc dầu kể từ khi vợ ông bị thương nặng trong một tại nạn leo núi vào cuối mùa hè và qua đời một thời gian ngắn sau đó. Cantor đã được chọn làm người đứng đầu của Deutsche Mathematiker-Vereinigung tại hội nghị thứ nhất và giữ chức vụ này đến năm 1893. Ông giúp cho việc tổ chức hội nghị Association diễn ra ở Munich vào tháng 9 năm 1893, nhưng ông đã bị ốm lại và không thể tham dự hội nghị này.

Cantor công bố bài luận khá lạ vào năm 1984, cái liệt kê con đường rằng tất cả các số chẵn tới 1000 có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố. Kể từ một sự thẩm tra về giả thiết Goldbach, với các số chẵn tới 10000 được hoàn thành 40 năm sau đó, và bài luận được nhắc đến nhiều, về bước suy nghĩ của Cantor, hơn là giải thuyết Goldbach.

Những bài luận chính về lý thuyết tập hợp được đưa ra vào năm 1895 và 1897, lần nữa trong Mathematische Annalen, trưởng ban biên tập là Klien, và là những sự quan sát tốt về số học siêu hạn. Đúng hơn là một khe hở lớn giữa 2 bài luận được chỉ ra bằng việc Cantor đã hoàn thành phần thứ 2, 6 tháng sau khi phần 1 được công bố, ông hy vọng việc chứng minh về giả thuyết continuum trong phần này. Tuy nhiên việc chứng minh này đã không thành, nhưng phần 2 lại miêu tả rất tốt lý thuyết của ông về tập hợp và số thứ tự ( ordinal numbers).
Trong năm 1897, Cantor tham dự Hội nghị toán học quốc tế đầu tiên tại Zurich. Trong bài luận tại hội nghị:
… Hurwitz biểu lộ sự cảm phục lớn đôí với Cantor và tuyên bố ông ta là người đã làm phong phú thêm lý thuyết hàm ( theory of functions). Jacques Hadamard cùng bày tỏ quan điểm của mình rằng nhờ có Cantor mà những khái niệm về lý thuyết tập hợp được xây dựng và là công cụ tối cần thiết.

Trong hội nghị này, Cantor đã gặp Dekekind và họ đã nối lại tình bạn hữu. Và cũng thời gian này, Cantor đã khám phá ra những nghịch lý đầu tiên trong lý thuyết tập hợp. Những khám phá này được ông tìm ra trong khi ông làm việc với những bài luận điều tra, từ năm 1895 đến năm 1897 của mình. Ông đã viết cho Hilbert năm 1896 để giải thích các nghịch lý này. Barali-Forti cũng khám phá ra nghịc lý một cách độc lập và công bố nó vằo năm 1897. Cantor bắt đầu trao đổi thư với Dedekind để có gắng hiểu làm sao để giải những vấn đề đó nhưng những sự suy nhược thần kinh để ngăn cản ông trong việc trao đổi thư năm 1899.

Mỗi khi Cantor bị chán nản, ông lại tạm dừng các vấn đề của toán học và chuyển sang vấn đề triết học. Bài văn mà ông thích thú nhất là bài văn nêu ra việc tin tưởng Francis Bacon đã viết những tác phẩm kịch của Shakespeare. Ví dụ trong trận ốm năm 1884, ông đã yêu cầu việc được giảng các bài triết thay cho toán học, và ông bắt đầu tập trung nghiên cứu về các bài văn thời Elizabeth I, để cố gắng chứng minh thuyết Bacon-Shakespeare. Ông phát hành cuốn sách mỏng về câu hỏi văn học năm 1896 và 1897. Ông càng căng thẳng hơn sau cái chết của mẹ ông tháng 10 năm 1896 và cái chết của em trai ông năm 1899.

Tháng 10 năm 1899, Cantor xin nghỉ dậy, và được chấp thuận để nghỉ học kì đông 1899-1900. Sau đó vào ngày 16 tháng 12 năm 1899, em trai út của Cantor qua đời. Từ thời gian này, cho tới cuối đời của ông, ông lại phải đấu tranh với căn bệnh suy nhược thần kinh. Ông tiếp tục giảng dậy, nhưng cũng nghỉ một vài kì đông, những năm 1902-03, 1904-05,v à 1907-08. Ông cũng dành thời gian cho việc chữa bệnh, từ năm 1899. Ông vẫn tiếp tục công việc công bố thuyết Bacon-Shakespeare và tất nhiên không chấm dứt hoàn toàn việc nghiên cứu toán. Ông giảng về các nghịch lý của lý thuyết tập hợp tại hội nghị Deutsche Mathematiker-Vereinigung tháng 9 năm 1903 và tham dự hội nghị toán quốc tế tại Heidelberg tháng 8 năm 1904.

Năm 1905, Cantor viết một bài về tôn giáo sau khi ông trở về nhà từ bệnh viện. Ông cũng trao đổi thư với Jourdain về lịch sử của lý thuyết tập hợp và vùng tôn giáo của ông.

Tại lễ kỉ niệm 500 thành lập trường đại học St Andrews ở Scotland năm 1911, ông hy vọng được gặp Russell, người vừa mới công bố cuốn sách Principia Mathematica. Nhưng sức khỏe và tin con trai ông bị ốm làm ông phải trở về Đức ngay, khi chưa kịp gặp Russell. Năm sau đó, Cantor được nhân bằng xuất sắc về tiến sĩ luật bởi trường St Andrews, nhưng ông quá ôm để đến nhận bằng này.
Cantor nghỉ hưu năm 1913 và chỉ được ăn một lượng thức ăn nhỏ bởi vì điều kiện khó khăn của nước Đức thời đó. Một sự kiện chính, đó là mừng thọ 70 của Cantor tại Halle năm 1915 đã bị hoãn vì chiến tranh, nhưng vẫn có một bữa tiệc nhỏ tại nhà. Tháng 6 năm 1917, ông phải nhập viện để chữa trị căn bệnh của mình, và viết cho vợ mình yêu cầu cho ông được về nhà. Ông qua đời vì một trận đau tim.
Hilbert cảm phục về những công trình nghiên cứu của Cantor cho toán học, và ông viết về Cantor..
“……the finest product of mathematical genius and one of the supreme achievements of purely intellectual human activity”

http://www.vntoanhoc.com/index.php?option=com_content&view=article&id=657:nha-toan-hoc-cantor&catid=68:the-gioi&Itemid=97

Gửi phản hồi

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: